La idea de que existen realmente eso que llamamos “objetos matemáticos” puede trazarse hasta Platón. Su razonamiento puede resumirse más o menos en lo siguiente: los geómetras hablan de círculos “perfectos”, triángulos “perfectos” y demás cosas perfectas que no se encuentran en este mundo; por otra parte en la aritmética hablamos de números compuestos de unidades perfectamente iguales entre sí, aunque esas unidades tampoco se encuentren en este mundo; por lo tanto, concluye Platón, las matemáticas tratan de objetos matemáticos que no existen en este mundo, serían objetos puramente inteligibles que habitan “otro mundo”; además, como los objetos no son de este mundo, nuestro conocimiento de ellos debe ser independiente de nuestra experiencia o, lo que dicho técnicamente, constituye un conocimiento “a priori”. Hoy día un porcentaje significativo de matemáticos trata a los objetos matemáticos platónicamente, bien porque hayan reflexionado sobre ello y hayan llegado a ese convencimiento (los menos) o bien de hecho. Se suele reconocer esta última actitud en que hablan de “descubrimientos”, como si los objetos matemáticos fuesen flores desconocidas en medio de una, hasta ese momento, impenetrable selva ecuatorial. Esta posición que, nos atrevemos a decir, es la que adquieren los matemáticos por defecto, es una forma de realismo: los objetos matemáticos son abstractos, eternos y no tienen relación causal con los objetos materiales. Démonos cuenta que desde un punto de vista lingüístico esto es equivalente a interpretar literalmente el lenguaje matemático (por ejemplo, existe un x y existe un y pertenecientes a tal conjunto tales que si y > x entonces se cumple que….). Siendo justo, no todo realismo matemático es platónico, pero la distinción es tan sutil que a los efectos de lo que sigue no merece la pena pararse en ello.
La cuestión es, si los objetos matemáticos no son de este mundo y, por tanto, no tienen relación causal con los materiales (humanos incluidos), ¿cómo podemos saber que nuestro conocimiento de esos objetos matemáticos es correcto? O, ya puestos, ¿cómo podemos llegar a conocerlos en primer lugar?
Algunos han respondido estas preguntas afirmando que existe una capacidad especial que usan los matemáticos, una intuición matemática, un algo que le da al matemático acceso directo al universo abstracto, eterno y acausal de las matemáticas. Según este punto de vista, la intuición matemática sería uno más de los sentidos que tenemos (que no son cinco, por cierto, son, al menos, nueve; pero este es otro tema). El propio Platón y Kurt Gödel desarrollaron epistemologías a partir de esta idea e indicios de la misma pueden verse en pensadores contemporáneos como Roger Penrose, por ejemplo.
Pero, claro, este planteamiento tiene un problema evidente si ponemos un límite naturalista a la epistemología o, dicho de otra manera, si pensamos que los humanos somos parte de un universo, y no como expresaba Spinoza “un imperio dentro de otro imperio”, todas las facultades humanas deben poder ser estudiadas por métodos científicos. Pero para poder estudiar esta intuición matemática necesitaríamos que el universo matemático tuviese una relación causal con ella; como no la tiene, no puede ser estudiada como parte del universo, digamos, natural y por tanto la posición platónica y la creencia en las revelaciones divinas tendrían el mismo fundamento, esto es, la voluntad del que cree: “creer es un acto del entendimiento que asiente a la verdad divina por imperio de la voluntad movida por Dios mediante la gracia” que decía Tomás de Aquino en la Suma teológica.
Entonces, si los objetos matemáticos no pueden estar en un universo paralelo e inaccesible, en este punto se nos plantea la cuestión de qué son los objetos matemáticos, suponiendo que existan de alguna manera. Una respuesta sería afirmar que son objetos mentales pero, entonces, perderían su apriorismo o, lo que es lo mismo, empezarían a existir cuando los pensamos y no antes. Un realismo, aparentemente, de quita y pon equivalente, en último término, a una nada servida en distintos sabores: idealismo, subjetivismo, etc. Otra posibilidad es que los objetos matemáticos como tales no existan, sino que sean las relaciones entre ellos (las estructuras) las que existan; esta posición se llama estructuralismo. Pero fijémonos que esto sólo transforma el problema, no lo soluciona.
Un paso más allá es la vía propuesta por Kant, en la que los objetos matemáticos no existen independientemente, sino que se construyen: las matemáticas tratan de las estructuras comunes a las mentes humanas. Esta aproximación, si nos fijamos, da a los objetos matemáticos una dependencia de la mente pero también una objetividad por ser las estructuras comunes a todos los humanos, enraizándolos de paso en la realidad. Además tenemos la necesidad y la objetividad aseguradas porque este constructivismo afirma que las matemáticas representan las formas en las que debemos pensar, percibir y comprender si hemos de pensar, percibir y comprender de alguna manera.
Existen aún más alternativas no realistas, que niegan que las matemáticas tengan objeto alguno, pero éstas no nos interesan ahora. Lo que sí podemos ver de lo que hemos simplemente apuntado es que los objetos matemáticos no existen independientemente, ya que mantener lo contrario los pone al nivel de los habitantes del planeta imaginario Hadesun, con el mismo fundamento lógico. A lo sumo existen las estructuras y además como expresión del resultado de nuestra evolución, que fue la que nos dio nuestro encéfalo. Pero, si esto es así, ¿cómo explicar la increíble efectividad de las matemáticas a la hora de comprender el mundo? Y además, ¿cómo sabemos que las matemáticas son ciertas, correctas, consistentes? Tenemos territorio que explorar.
César Tomé López, Los objetos matemáticos no existen, Cuaderno de Cultura Científica (CKC), 28/05/2013
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Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance