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Temas por Raúl Ibáñez

enero 20, 2020
9:30
Los números enamorados
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Raúl Ibáñez, profesor de Geometría y Topología de la UPV.

En 1924, el pintor futurista italiano Giacomo Balla (1871-1958) creó una obra titulada Los números enamorados asociando una cualidad humana, como es el enamoramiento, a los números. También en el ámbito de las matemáticas nos gusta asociar a los números, en particular, a los números naturales, cualidades humanas. Existen números amigos, sociables, novios, narcisistas, felices, tristes, hambrientos, intocables, ambiciosos, afortunados, malvados, odiosos, prácticos o raros, pero también con otras denominaciones curiosas, como números vampiros, parásitos, perniciosos, apocalípticos, perfectos, sublimes, abundantes, escasos o intocables.

Algunas de estas familias de números deben su propiedad definitoria al comportamiento de sus divisores propios, es decir, entre los divisores no se considera al propio número. Así, un número se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores, como el 6 = 1 + 2 + 3 o el 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Mientras que los números que no son perfectos pueden ser abundantes, cuando el número es menor que la suma se los divisores, como el 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, o deficientes en el caso contrario, como el 14 > 1 + 2 + 7 = 10 o todos los números primos.

Un número es ambicioso si puede llegar a ser perfecto de la siguiente forma, dado el número se toma la suma de sus divisores, con este nuevo número se vuelve a considerar la suma de sus divisores, y se continúa así, de forma que el número es ambicioso si llega un momento que se alcanza un número perfecto, como en el caso del número 95, cuyos divisores suman 1 + 5 + 19 = 25, y los divisores de este suman 1 + 5 = 6, que es perfecto, aunque el 24 o los números primos no son ambiciosos.

Relacionados con la perfección están los números sublimes, aquellos tales que el número de sus divisores (incluido el propio número) y la suma de los mismos son perfectos, como el 12, que tiene 6 divisores y su suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, aunque solo se conoce otro número sublime más, que es
6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264.

Se dice que dos números son amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro. Un ejemplo son los números 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 y 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, que fueron utilizados en la antigüedad para realizar talismanes relacionados con la amistad y el amor, por lo que quizá estos deberían ser llamados números enamorados. Y dos números se consideran novios o casi-amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de sus divisores menos 1, como el 48 = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 – 1 y el 75 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 – 1.

La propiedad de amistad puede generalizarse a un grupo de números, de forma que la suma de los divisores de cada uno es igual al siguiente, y la del último igual al primero, entonces se habla de números sociables. El grupo de números más pequeños que son sociables son 12.496, 14.288, 15.472, 14.536 y 14.264.

También existen intocables dentro de la familia de los números naturales, son aquellos que no se pueden expresar como suma de los divisores de ningún número. El número 2 es intocable, el 3 no (1 + 2, divisores del 4), el 5 no (1 + 3, divisores del 9) y el 5 sí, ya que solo puede expresarse como 1 + 4, pero si el 4 es divisor del número, también lo es el 2 y la suma sería al menos 7, y el siguiente intocable es el 52.

Y no podían faltar los números raros, que son aquellos que son abundantes, es decir, la suma de los divisores es mayor que el número, pero no se puede obtener el número exacto quitando algunos de los divisores, es decir, como suma de un subconjunto de divisores propios. Por ejemplo, el 12 es abundante, pero como 12 = 2 + 4 + 6, no es raro, y el número raro más pequeño es 70 (cuyos divisores son 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35).

Cerramos este repaso a algunas tribus numéricas con los números poderosos, que son aquellos tales que, si un número primo p es divisor suyo, también lo es su cuadrado p2, como el 36, cuyos divisores primos son 2 y 3, y sus cuadrados también son divisores de 36.

Puede resultar atractivo para los alumnos trabajar en el aula estos grupos de números creando un juego que consista en buscar números pertenecientes a las diferentes familias mencionadas aquí.

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septiembre 29, 2019
11:05
Esas malditas medidas
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Una actividad didáctica muy interesante para el aula es la lectura de un periódico. Permite trabajar tanto la comprensión lectora, como algunas de las materias de diferentes asignaturas, en particular, de matemáticas. En algunas ocasiones pueden analizarse con el alumnado noticias que contengan errores. Por ejemplo, en la siguiente noticia se cometía un pequeño error de medida.

En agosto de 2012 se produjo un incendio en León que apareció recogido en los principales medios de comunicación. En la portada de un periódico se pudo leer que “El incendio de León se rebaja a nivel 1, pero ocupa un radio de 60 km”, mientras que el titular de la noticia, en el interior, decía “Desastre en la provincia de León con 10.000 hectáreas arrasadas”.

El radio es una medida de longitud, luego es correcto que estuviese en kilómetros y la superficie arrasada por el fuego estaba medida en hectáreas, que también era correcto. Luego, ¿cuál era el problema? La cuestión era que, si el incendio tenía un radio de 60 kilómetros, podíamos calcular cuál era la superficie del círculo de radio igual a 60 kilómetros y ver si se correspondía con la superficie mencionada. Aunque era evidente que la superficie quemada no era exactamente circular, podíamos obtener una aproximación de la misma. Para calcular el área de la zona circular, solamente teníamos que recordar la fórmula del área de un círculo de radio:

La verdad es que salía una cantidad enorme. No tanto como la provincia de León, con una superficie de 15.581 kilómetros cuadrado, pero mayor que toda Navarra, con una superficie de 10.391 km2. Luego, las dos informaciones no eran compatibles, el titular, que hablaba de un radio de 60 km, y la superficie quemada de 10.000 hectáreas, muy lejos de las 1.131.000 hectáreas calculadas (aunque la forma de la superficie quemada no fuese circular, distaba mucho de acercarse a una cantidad razonable).

Por otra parte, en el interior de la noticia se podía leer que el perímetro de la zona quemada era de 60 km. Ahí estaba el error. De hecho, veamos que este dato sí cuadraba con la superficie quemada. Así, la fórmula del perímetro de una circunferencia (aunque el área quemada no era circular y la extensión era menor) es

y como el perímetro era de 60 km, entonces el radio era

(lejos de los 60 km que ponía en el titular). Y ahora utilizando la fórmula de la superficie del círculo:

Esas 28.600 ha. era la superficie máxima que podía estar quemada con ese perímetro de 60 km, que es lo que corresponde a la circunferencia, y como vemos la superficie quemada real es bastante menos, pero algo comprensible, 10.000 ha.

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junio 04, 2019
10:50
En busca de simetría
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Un palíndromo es una palabra, una expresión o un número que se lee igual de izquierda a derecha, que de derecha a izquierda. En el caso de los números se utiliza también la expresión “números capicúas”. Contrariamente a lo que ocurre con las palabras o expresiones, es fácil obtener números palíndromos, de hecho, existen infinitos. Basta con tomar un número finito de cifras y repetirlas en sentido inverso, repitiendo, o no, el término del medio: 232, 3.773, 57.675, etcétera.

Tomemos un número cualquiera de dos dígitos, por ejemplo, el 23, que claramente no es igual a su simétrico, el número, 32, luego no es capicúa. ¿Qué ocurrirá si sumamos ambos, el número inicial y su simétrico? Veámoslo, 23 + 32 = 55. Obtenemos un número capicúa. ¿Ocurrirá esto con más números? Consideremos otro número, por ejemplo, el 57 y sumémosle su simétrico, 57 + 75 = 132, que, sin embargo, no es capicúa. Pero, probemos a realizar el mismo proceso de sumarle su simétrico al resultado anterior: 132 + 231 = 666, que resulta sí ser capicúa. Sigamos probando. El número 68, le sumamos su simétrico, 68 + 86 = 154, continuamos el proceso, 154 + 451 = 605, y un paso más, 605 + 506 = 1111, hasta que, de nuevo, obtenemos un número capicúa. Aunque esta vez hemos necesitado 3 pasos, o iteraciones. Podemos plantearnos, por lo tanto, el siguiente problema:

¿Si tomamos cualquier número natural y le sometemos al proceso iterativo de “sumar el simétrico del número”, se alcanzará siempre un número capicúa, es decir, tras un un número finito de pasos se obtendrá un palíndromo?

Empecemos viendo qué ocurre con los números de dos dígitos:

Para estos la respuesta es afirmativa, aunque para el 89, y su simétrico 98, se han necesitado 24 iteraciones para llegar al palíndromo. ¿Seguirá siendo cierta esta propiedad para números más grandes de tres o más dígitos? Lo cierto es que, a día de hoy, no se sabe la respuesta a esta pregunta. Este sigue siendo un problema matemático abierto. De hecho, el número 196, que no es muy grande, se desconoce si genera, mediante este proceso, un número capicúa.

La sucesión de los resultados de las 20 primeras iteraciones del número 196 es: 196, 887, 1.675, 7.436, 13.783, 52.514, 94.039, 187.088, 1.067.869, 10.755.470, 18.211.171, 35.322.452, 60.744.805, 111.589.511, 227.574.622, 454.050.344, 897.100.798, 1.794.102.596, 8.746.117.567, 16.403.234.045 y 70.446.464.506, que claramente no son palíndromos.

En la década de los años 80 se utilizaron los ordenadores para generar esta sucesión de números y averiguar si termina, o no, en un número capicúa. En 2011, Romain Dolbeau, con su programa “p196_mpi”, consiguió realizar un billón de iteraciones, con las cuales alcanzó un número de más de 400 millones de dígitos, sin conseguir el deseado capicúa. Y en 2015 alcanzó un número con un billón de dígitos, aún sin conseguir el objetivo de llegar a un palíndromo.
De hecho, el 196 no es el único número del que se desconoce si termina, con el proceso de “sumar el simétrico”, en un palíndromo. A la sucesión de números sospechosos de no generar un número capicúa se la conoce como sucesión de números Lychrel y es la sucesión A023108 en la Enciclopedia on-line de sucesiones de números enteros, de N. J. A. Sloane. Los primeros términos de esta sucesión son:
196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1.495, 1.497, 1.585, 1.587, 1.675, 1.677, 1.765, 1.767, 1.855, 1.857, 1.945, 1.947, 1.997, …

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9:55
π, un número normal ¿o no?
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El número π es una de las constantes matemáticas más importantes que existen, pero además es un número fascinante que goza de una gran popularidad entre el público, tanto el matemático, como el no matemático. No en vano tiene dos celebraciones internacionales en su honor, el “Día de pi” (14 de marzo, 3-14 en inglés) y el “Día de aproximación de pi” (22 de julio, en referencia a la aproximación dada por Arquímedes, 22/7 = 3,1428…).
La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que es como se define el número π, tiene unos 4.000 años de antigüedad. Sin embargo, hasta el año 1.761 no se consiguió demostrar, por el matemático francés Johann H. Lambert (1728-1777), que este es un número irracional. Lo cual significa que π no se puede expresar como el cociente entre dos números enteros, o equivalentemente, si consideramos su expresión decimal, esta tiene infinitos decimales y no es periódica, es decir, no existe un número finito de decimales –conocido como período– que, a partir de un decimal dado, se repita de forma infinita, contrariamente a lo que ocurre con números como 146/825, que es racional y cuya expresión decimal es 0,17696969…, siendo su período 69.
De hecho, la búsqueda de los decimales del número π es una investigación activa hoy en día. Se trata de conocer todos los decimales posibles de π (recordemos que todos es imposible, son infinitos y no hay un patrón finito que se repita). El record de decimales en la actualidad es de … 22.459.157.718.361 dígitos … obtenido por Peter Trueb en 2016.
Por otra parte, podemos preguntarnos, entre los decimales del número π, que son infinitos y sin un patrón finito que se repita, cuáles de las diez cifras básicas 0, 1, 2, …, 9 aparece con más frecuencia, y cuales, con menos, dentro de la expresión decimal del número π, o si por el contrario todas las cifras aparecen en la misma proporción. Si miramos a los 100 primeros decimales del número π,

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679…

observaremos que las diez cifras básicas, del 0 al 9, aparecen en la siguiente proporción: 8, 8, 12, 11, 10, 8, 9, 8, 12, 14. Si las diez cifras básicas aparecieran en la misma proporción, tendrían que aparecer diez veces cada cifra básica en los 100 primeros números, aunque la verdad es que 100 decimales no son muchos, y necesitaríamos ver más decimales. Por tanto, ¿qué ocurre para 1.000, 10.000, 100.000, o más, decimales?

Como podemos observar en la tabla anterior, según va aumentando el número de decimales, la proporción de cada una de las diez cifras básicas dentro de los decimales del número π se van acercando al 10% de los decimales.
En el artículo Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi, su autor, Peter Trueb, nos confirma este hecho entre los 22.459.157.718.361 decimales que se han calculado de la constante geométrica. Más aún, si se toman las 100 secuencias de dos dígitos formadas por las diez cifras básicas, del 00 al 99, cada una aparece en una proporción que se va acercando cada vez más a 1/100, es decir, un 1%. Y lo mismo ocurre para las 1.000 secuencias de tres dígitos, de 000 a 999, cada una de las cuales aparece en una proporción que se va aproximando a 1/1.000. Todas las secuencias posibles son igualmente probables.
Todo esto lo que nos está diciendo es que aparentemente el número π podría ser lo que se conoce como un “número normal” (para la base 10), y que fue introducido por el matemático francés Émile Borel (1871-1956), en 1909. Sin embargo, a día de hoy demostrar la normalidad de π sigue siendo un problema abierto. La supuesta normalidad del número π es lo que nos permite afirmar que dada una secuencia finita de dígitos, como nuestro NIF o número de móvil, llegará un momento entre los decimales de pi en que aparecerá. En internet existen páginas para buscar “tus” números en pi, por ejemplo, subidiom.
La artista donostiarra Esther Ferrer nos acerca a la propiedad de normalidad de π, mediante un contundente argumento visual en el cual asigna un color a cada cifra básica, en su excelente obra Pi (2009-2010). Inspirado por su trabajo os traigo aquí los 399 (más el 3 inicial) decimales del número π, asignando un color distinto a cada una de las cifras básicas.

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marzo 13, 2019
8:30
Contando con los dedos de la mano, al estilo binario
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Desde el origen del concepto de número hace decenas de miles de años hasta nuestros días, los humanos siempre hemos contado con los dedos de nuestras manos. Las técnicas para contar son muy diversas y varían de unos pueblos a otros. Hay quienes simplemente cuentan los dedos de las manos, ya sea partiendo de la mano cerrada y abriendo cada uno de los dedos, utilizando otro dedo para señalarlos o incluso cerrando los dedos a partir de la mano abierta, los hay que cuentan las falanges o los nudillos, quienes realizan gestos con las manos que imitan los símbolos de su escritura numérica, quienes utilizan las manos como si fueran las varillas de un ábaco o se inventan elaborados métodos para contar hasta un millón. Aunque también se pueden utilizar las manos para realizar las representaciones binarias de los números, como vamos a mostrar a continuación.

El sistema de numeración binario es el utilizado en informática y en toda la tecnología digital para codificar la información (música, imágenes o datos). La ventaja de un sistema con tan solo dos cifras, 1 y 0, es que es fácil de representar con dispositivos físicos simples, como el paso o no de corriente en un circuito de un ordenador, con hendiduras o llanuras en un Compact Disc, con una bombilla encendida o apagada, o con un dedo abierto o cerrado.
¿Qué son los números binarios? En nuestro sistema de numeración decimal expresamos los números en función de las potencias de 10, puesto que cada posición nos indica cuántas unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etcétera, hay en el número. Por ejemplo, 7.485 = 7 x 1.000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 5 x 1. De la misma forma, el sistema binario consiste en expresar todo número como potencias de 2, indicando con el 1 y el 0 qué potencias están y cuáles no. Así, el número 45 se expresa como (101101) .

puesto que 45 es la suma de las potencias de dos, 32 + 8 + 4 + 1, y hay unos en las posiciones de esas potencias.
Podemos utilizar nuestras manos para realizar las expresiones binarias de los números, teniendo en cuenta que un dedo levantado simbolizará un 1 y cerrado un 0. Si utilizamos solo una mano, podremos representar los números del 0 al 31 mediante las expresiones binarias con cinco dígitos, cada uno de los cuales será un 1 o un 0, es decir, un dedo abierto o cerrado. Así, las potencias de 2 se expresarán digitalmente como: la mano cerrada 0 (en expresión binaria 00000), solo el meñique abierto 1 (00001), solo el anular abierto 2 (00010), solo el corazón 4 (00100), solo el índice 8 (01000) y el pulgar 16 (10000), como se muestra en la siguiente imagen.

Y combinando los cinco dedos podemos representar todos los números entre 0 y 31. Como ejemplo se muestra la expresión digital de algunos números en la siguiente imagen, 9, 12, 14, 19, 25 y 30.

Si se utilizasen las dos manos, es decir, diez dedos, se podrían representar del 0 al 1023. Para terminar, un pequeño juego: “Hay que contar, en orden, los números del 0 al 31 utilizando este método binario digital”.

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enero 22, 2019
7:30
Demostraciones sin palabras: suma de cuadrados
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En matemáticas se ha acuñado la expresión “demostraciones sin palabras” para designar a diagramas, esquemas o dibujos que, aunque no son realmente demostraciones, nos ayudan a comprender por qué un teorema es cierto o encierran la idea de la verdadera demostración matemática. Además, las “demostraciones sin palabras” son siempre sugerentes, atractivas y todo un ejercicio de estímulo para el pensamiento.

Como comenta el matemático Roger B. Nelsen, autor de los dos libros Proofs without words publicados por la Mathematical Association of America, se fueron haciendo populares a raíz de su publicación, a partir de 1975, en revistas como Mathematics Magazine y The College Mathematical Journal, primero como imágenes de relleno entre artículos y posteriormente como secciones fijas.
Como ejemplo de demostración sin palabras veamos la prueba visual, e incluso táctil, de la fórmula de la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales, publicada por Man-Keung Siu en 1984 en Mathematics Magazine. Realizaremos el esquema de esta demostración sin palabras para n = 4. Para empezar, consideramos tres copias de una cierta estructura geométrica, realizada con cubos del material Live Cube, que refleja la suma de los cuadrados de los 4 primeros números 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 cubos.

Después, se juntan las tres estructuras para formar una estructura compacta.

Los cubos de dicha estructura forman un ortoedro, es decir, un prisma recto de base rectangular, cuya base tiene n = 4 cubos de ancho y n + 1 = 5 cubos de largo, y con una altura de n = 4 cubos, luego n (n + 1) n = 80 cubos en total. Además en la parte de arriba del ortoedro hay 1 + 2 + 3 + 4 cubos más (en general, 1 + 2 + … + n cubos), que aún no habíamos contado.
Teniendo en cuenta la conocida fórmula de la suma de los n primeros números enteros naturales, 1 + 2 + … + n = n (n + 1) / 2, se obtiene, contando la cantidad de cubos que hay en la estructura de las dos formas explicadas, que

Si no conocíais la fórmula de la suma de los n primeros números enteros naturales, aquí os dejo una sugerente demostración sin palabras…

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septiembre 16, 2018
7:15
El juego de cartas “La ratonera”
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Arthur Cayley. Fuente: [https:]

Por Raúl Ibáñez, profesor de Geometría y Topología de la UPV

Arthur Cayley (1821-1895) fue el matemático puro por excelencia de la Gran Bretaña del siglo XIX y uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, con 976 artículos publicados y un libro. Investigó en todas las ramas de la matemática pura, pero sin lugar a dudas sus contribuciones más importantes fueron en álgebra, siendo uno de los artífices del nacimiento del álgebra moderna, y de la geometría. Su nombre está asociado al teorema de Cayley-Hamilton del álgebra matricial, a los determinantes, a los números de Cayley de la teoría de álgebras, al origen de la teoría de invariantes, al teorema de Cayley de teoría de grupos, a los espacios multidimensionales, a la noción de distancia en los espacios proyectivos y las geometrías no euclídeas, a la geometría algebraica con sus estudios sobre curvas y superficies cúbicas o a la fórmula de Cayley para árboles etiquetados.

En 1857, Arthur Cayley inventó un juego de cartas, relacionado con las permutaciones, al que llamó “La ratonera” (Un problema sobre permutaciones, Quart. Math. J.). En este juego se necesitan n cartas numeradas del 1 a n, por ejemplo 13, como en la baraja francesa. Se barajan bien las cartas, es decir, formando de este modo una permutación de las n cartas o, equivalentemente, del conjunto {1, 2, …, n}. Se coge el mazo de las n cartas barajadas, con los números hacia abajo, y se empiezan a coger las cartas, una a una, por la parte de arriba, a la vez que se va contando. Primera carta “1”, segunda carta “2”, tercera carta “3”, etcétera. Si el número de la carta que se coge coincide con el número que se está contando se retira dicha carta y se empieza a contar de nuevo desde “1” con la siguiente carta de arriba. En caso contrario, se coloca la carta en la parte de abajo del mazo y se continúa contando. Se gana en La ratonera si se terminan retirando todas las cartas, pero si se llega a contar hasta n + 1 (14 en el caso de 13 cartas) se habrá perdido.

Supongamos que se juega con 5 cartas, de forma que tras barajar quedan en el siguiente orden, de arriba abajo 3, 2, 5, 4, 1 (como en la imagen), se descarta primero la carta 2, después la carta 5, seguida de la carta 3 y ya no se puede descartar ninguna carta más. Mientras que con la posición inicial 4, 2, 3, 5, 1, se van descartando las cartas 2, 4, 5, 1 y finalmente la carta 3, con lo que se gana en el juego.

La cuestión que se plantea en relación a este juego es conocer para cuántas de las permutaciones posibles, es decir, formas de barajar las cartas, se puede ganar en la ratonera, y en general, para cuántas permutaciones quedarán solamente un número k de cartas. Por ejemplo, para n = 4, las permutaciones {1, 2, 4, 3} y {2, 1, 3, 4} son ganadoras, mientras que {1, 2, 3, 4} y {3, 2, 1, 4} no, en la primera solo se elimina la carta 1 y en la segunda las cartas 2 y 1. Además, Cayley muestra las permutaciones para las que las cartas se van retirando en el orden natural creciente, jugando desde con 1 hasta 8 cartas: {1}, {1, 2}, {1, 3, 2}, {1, 4, 2, 3}, {1, 3, 2, 5, 4}, {1, 4, 2, 5, 6, 3}, {1, 5, 2, 7, 4, 3, 6} y {1, 6, 2, 4, 5, 3, 7, 8}.

Y en la nota Sobre el juego de la ratonera (Quart. Math. J., 1878), Cayley analiza completamente el caso de 4 cartas. Para las 24 permutaciones de las 4 cartas, se descartan las siguientes cartas:

Luego, existen 6 juegos ganadores para la ratonera de 4 cartas, 3 para los que se descartan 2 cartas, 6 para los que se retira una sola carta y 9 para los que no se puede retirar ni una sola carta.

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mayo 18, 2018
10:30
La poética sucesión de Fibonacci
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Si existe una sucesión de números enteros que se puede decir que “todo el mundo conoce”, esa es la sucesión de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … que fue introducida por el matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1241), conocido como Fibonacci (hijo de Bonaccio), en su libro Liber Abaci – El libro del ábaco (1202), como solución a un problema de ingenio, el famoso problema de los conejos.

A partir de entonces, se convirtió en un tema de interés dentro de las matemáticas, y posteriormente, también de la sociedad en su conjunto, formando parte incluso de todo tipo de obras artísticas. Como es conocido, cada término de la sucesión fn se obtiene como suma de los dos términos anteriores, es decir, fn = fn-1 + fn-2, para n = 0, 1, 2,… Sin embargo, no todo el mundo sabe que esta sucesión ya era conocida varios siglos antes de Fibonacci por los estudiosos indios de la métrica en sánscrito.

En la poesía en sánscrito, lengua antigua y culta de la India, existían dos tipos de poemas, aquellos con un número fijo de sílabas por verso (llamados varna–vrttas), como en los sonetos, cuyos versos tienen 11 sílabas, y los que tenían un número fijo de “moras” (llamados matra–vrttas), como los haikus en la poesía japonesa. En sánscrito, como en algunas otras lenguas, existían dos tipos de sílabas, unas cortas (llamadas laghu), con una mora, o tiempo silábico, y otras largas (llamadas guru), con dos moras.

Los estudiosos de la métrica en sánscrito analizaban las posibles estructuras que se producían en ambos tipos de poemas. Por ejemplo, si llamamos C a una sílaba corta y L a una larga, un verso de tipo varna–vrttas de tres silabas tiene 8 estructuras posibles, en función de sus moras: CCC, LCC, CLC, CCL, CLL, LCL, LLC y LLL. Luego, el número de sílabas se mantiene, pero no el de moras, que va desde 3 hasta 6, según la estructura. Pero, veamos cuántas estructuras posibles existen para los versos matra–vrttas, para versos con 1, 2, 3, 4 o 5 moras.

El número de variaciones posibles, para versos con 1, 2, 3, 4 o 5 moras, es 1, 2, 3, 5 y 8, que son números de Fibonacci. Pero fijémonos, por ejemplo, en las estructuras de los versos con 4 moras, los podemos dividir en dos tipos, los que terminan en una sílaba larga (L), que son las dos estructuras con 2 moras (L y CC) a las que se ha añadido dos moras mediante una sílaba larga (LL y CCL), y los que terminan en una sílaba corta (C), que son las tres estructuras con 3 moras (LC, CL y CCC) a las que se ha añadido una mora mediante una sílaba corta (LCC, CLC y CCCC). En consecuencia, hay 2 + 3 = 5 posibles estructuras con 4 moras.

Si ahora quisiéramos ver cuántas estructuras diferentes existen para los versos de la métrica matra–vrttas con 6 moras, obtendríamos que son 13, los generados a partir de los de 4 moras al añadirle una sílaba larga (L), que son 5, y los generados a partir de los de 5 moras al añadirles una sílaba corta (C), que son 8, luego en total 5 + 8 = 13. En concreto, LLL, CCLL, LCCL, CLCL y CCCCL, junto con LCLC, CLLC, CCCLC, LLCC, CCLCC, LCCCC, CLCCC y CCCCCC.

Por tanto, lo que estamos diciendo es que el número de estructuras posibles con m moras es igual a la suma del número de estructuras con m – 1 y m – 2 moras, que es el motivo por el que salen los números de Fibonacci. En resumen, ¡la cantidad de estructuras posibles para versos matra–vrttas con m moras es igual al número de Fibonacci Fm!

¿Desde cuándo se conocía este hecho? Aunque hay quien piensa que la primera autoridad en el estudio de la métrica en sánscrito Acarya Pingala, que vivió entre el 700 a.c. y el 100 d.c., ya era conocedor de esta realidad, lo cierto es que el primer texto en el que se explica la regla de formación del número de estructuras de matra–vrttas fue Acarya Virahanka, quien vivió entre los siglos sexto y octavo. En una de sus obras puede leerse algo así: “Juntando las variaciones de las dos métricas anteriores, se obtiene la cantidad. Este es un método para conocer el número (de variaciones) de la siguiente matra–vrtta”. Otros estudiosos incluso mencionaron explícitamente la sucesión de números “1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …”.

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marzo 14, 2018
9:10
El juego de Sim
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El juego de Sim, perteneciente a la familia de juegos con “lapiz y papel”, es un sencillo juego que encierra una gran riqueza matemática. Fue inventado por el matemático estadounidense, experto en criptografía, Gustavus J. Simmons, mientras trabajaba en su tesis doctoral en teoría de grafos, e inspirado en el estudio matemático de los números de Ramsey. El juego aparece en su artículo On the game of Sim (Journal of Recreational Mathematics, 1969).

Situación inicial del juego de Sim, con los seis vértices del hexágono, y el grafo completo de seis vértices asociado K6, con los 15 posibles segmentos que unen los 6 puntos dos a dos).

Las reglas del juego son las siguientes. Se consideran los seis puntos que determinan los vértices de un hexágono regular, pintados sobre una hoja de papel. Hay 15 formas distintas de pintar un segmento que una dos vértices de la figura (como se ve en la imagen anterior), que en conjunto forman lo que se llama el grafo completo de seis puntos, K6. El juego de Sim es un juego para dos jugadores, cada uno de los cuales utiliza un lápiz de un color (por ejemplo, azul y rojo) para pintar, por turnos, un segmento que une dos puntos cualesquiera de la figura. Pierde el jugador que primero forme un triángulo monocolor, del color de su lápiz, siendo sus vértices puntos de la figura inicial.

Simulación de una partida en la que el primer jugador pinta con el color azul y el segundo con el rojo. En cada instantánea se observan los dos movimientos de cada turno de ambos jugadores. Pierde el primer jugador, puesto que en el séptimo movimiento, indistintamente del segmento que pinte –en gris en la imagen- formará un triángulo azul con tres vértices del hexágono).

Una característica interesante del juego de Sim es que no puede terminar en tablas, como demostró el propio Simmons en su artículo. La demostración es la siguiente. Consideremos el grafo completo de seis puntos K6 completamente coloreado con los dos colores, es decir, los dos jugadores han continuado pintando segmentos de forma alternada hasta completar el grafo. Tomemos un vértice cualquiera v0. Como hay cinco líneas que pueden unir ese vértice del hexágono con los otros cinco (v1, v2, v3, v4, v5 en la siguiente imagen), como solamente disponemos de dos colores para pintar, al menos tres de ellas son del mismo color, por ejemplo, azul.

Si alguno de los tres segmentos que unen los vértices finales de esos tres segmentos azules, fuese también azul, entonces formaría un triángulo azul con los correspondientes segmentos azules que empiezan en el vértice v0. Pero si, por el contrario, ninguno de esos tres segmentos es azul, entonces los tres son rojos y forman un triángulo rojo. Por lo tanto, siempre existe un triángulo monocolor, ya sea azul o rojo. Lo cual completa la demostración.
Como consecuencia del anterior razonamiento, no existe la posibilidad de empate en el juego del Sim y alguno de los dos jugadores ganará. Sin embargo, el problema de quien de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y cuál es esta, es bastante complejo. De hecho, Simmons no lo incluía en su artículo, y solo después de un exhaustivo análisis con ordenadores descubrió que es el segundo jugador quien tiene una estrategia ganadora, aun así, esta no es fácil de llevar a la práctica, como ocurre con otras estrategias ganadoras que han ido descubriendo los matemáticos.
La idea que subyace al juego del Sim se enmarca dentro de la Teoría de Ramsey, esa teoría matemática del campo de la combinatoria que viene a decirnos que el desorden completo es imposible, y más concretamente está relacionada con los números de Ramsey.

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enero 15, 2018
12:10
Más de mil tipos distintos de ramos
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“Más de mil tipos distintos de ramos de rosas” es el lema de una floristería. Está escrito en letras grandes y llamativas en la cristalera de la tienda, para captar la atención de todas las personas que pasan por el exterior de la misma. Los ramos de rosas son su producto estrella. Estos están formados por doce rosas, las cuales pueden ser de color rojo, blanco, rosa, amarillo, naranja o azul, y la cantidad de rosas de cada color en un ramo cualquiera varía entre ninguna, cuando ese color no forma parte del ramo, y doce, cuando el ramo es monocolor. Los dueños de la floristería afirman que se pueden componer más de mil tipos distintos de ramos de rosas, pero ¿cuántos tipos de ramos distintos son exactamente?

Esta cuestión puede plantearse matemáticamente. Si llamamos x, y, z, r, s, t a las variables que nos indican la cantidad de flores de cada color (respectivamente, rojo, blanco, rosa, amarillo, naranja y azul) que puede haber en un ramo de rosas, la cantidad de ramos distintos que se pueden componer es igual a la cantidad de soluciones de la ecuación

Una de las cuestiones interesantes de este problema matemático, calcular las soluciones de la anterior ecuación lineal, es que se puede resolver de una forma sencilla y hermosa, que consiste en sustituir las soluciones numéricas de la ecuación por diagramas de puntos y líneas, y contar cuántos diagramas existen.

Una solución de la ecuación anterior puede interpretarse como hacer seis grupos a partir de un conjunto de doce objetos. La cantidad de objetos de cada grupo representa el valor de cada variable, luego el número de rosas de cierto color en el ramo. En el diagrama se considera que los objetos son los puntos y se utilizan las líneas verticales para separar los seis grupos. Así, a la solución (1, 3, 2, 4, 1, 1) –que se corresponde con el ramo de una rosa roja, tres blancas, dos rosas, cuatro amarillas, una naranja y una azul– se le asocia el diagrama •|•••|••|••••|•|•. Es decir, las líneas verticales separan tantos puntos como el número correspondiente de la solución, dentro del total de doce puntos. De igual forma, la solución (5, 3, 2, 0, 2, 0) tiene asociado el diagrama •••••|•••|••||••|, (3, 1, 2, 3, 1, 2), el diagrama •••|•|••|•••|•|•• y (6, 3, 0, 0, 0, 3), ••••••|•••||||•••.

Por lo tanto, para generar cada diagrama debemos colocar un punto o una línea en los diecisiete (doce más cinco) «lugares» posibles, cinco huecos para las líneas y doce para los puntos. Como basta con determinar los lugares de las líneas, puesto que el resto serán para los puntos, la solución es la cantidad de formas en se pueden elegir cinco «lugares» dentro de los diecisiete posibles, cuestión clásica de la combinatoria, que nos dice que es el conocido número combinatorio 17 sobre 5, C(17,5),

Por lo tanto, el número de tipos distintos de ramos de rosas posibles, con doce rosas que pueden ser de color rojo, blanco, rosa, amarillo, naranja o azul, es mayor de mil, exactamente 6.188 tipos distintos.

Este razonamiento, con diagramas de puntos y líneas, nos permite demostrar el resultado general (teorema) sobre ramos distintos de n rosas con hasta k colores distintos, o soluciones de la correspondiente ecuación lineal:

¿Qué solución de la ecuación lineal prefieres tú?

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octubre 26, 2017
10:22
El origen de los signos matemáticos: más + y menos –
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Por Raúl Ibáñez, matemático y profesor de Geometría y Topología de la Universidad del País Vasco (UPV)

La primera vez que aparecen los signos + (más) y – (menos) en un libro impreso es en la obra Mercantile Arithmetic (1489) del matemático alemán Johannes Widman (1462 – 1498). Sin embargo, no utiliza los signos + y – como símbolos de las operaciones aritméticas, sino para expresar exceso y defecto de las mercancías. Por ejemplo, la expresión 3 + 30 quiere decir 3 centner y 30 pfund, que son unidades de peso alemanas. Mientras que como operaciones aritméticas aparecen en el libro de álgebra y aritmética Ayn new Kunstlich Beuch (1518), del matemático alemán Henricus Grammateus (aprox. 1492-1525), como menciona Florian Cajori en su texto A history of mathematical notations (1928).

Sin embargo, esta no es la primera aparición de los signos + y –, ya que se pueden encontrar en algunos manuscritos alemanes (MS C80 de la Biblioteca de Dresde), en latín y alemán, de los últimos veinte años del siglo XV.

Signos + y –, que aparecen en dos expresiones algebraicas, en los manuscritos latinos MS C80, de la Biblioteca de Dresde, del año 1486.

La forma del signo más como una cruz + se debe a que originalmente en los manuscritos latinos se utilizaba la conjunción latina “et”, es decir, la conjunción “y”, para expresar la adición, de la misma forma que hoy se dice “2 y 2 son 4”. El signo + es una de las muchas abreviaturas que existieron de “et”. La primera vez que aparece esta abreviatura + en un manuscrito podría ser la obra Algorismus proportionum (aprox. 1356-1361) del matemático Nicolás de Oresme (1323-1382). Aunque este signo podría no estar en la obra original y haber sido escrito por un copista posterior.

Página de la obra Summa de arithmetica (1494), de Luca Pacioli, en la que aparecen por primera vez los signos , , para representar suma y resta. En esta página vemos también la regla del signo en la multiplicación “más por más siempre es más, menos por menos siempre es más,…” (“più” es más y “meno” es menos en italiano).

Antes del siglo XV se utilizaron en Italia, como en otros lugares, las palabras más y menos en el idioma de escritura (en latín, “plus” y “minus”), de ahí derivaron por abreviatura, las letras “p” y “m” (o con una tilde, o un segmento, encima). Estas abreviaturas, y , aparecen por primera vez en la obra Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494), del matemático italiano Luca Pacioli (1447-1517), y se siguieron utilizando en los siglo XV y XVI. En Italia los signos alemanes + y – empezaron a utilizarse en el siglo XVII. El primer uso de los signos + y – en Gran Bretaña fue en 1557 en el libro The Whetstone of Witte, de Robert Recorde, en el que apareció por primera vez el símbolo = para la igualdad. En España y Francia se utilizaban tanto los símbolos alemanes + y –, como los símbolos italianos “p” y “m”.

Además de la cruz griega + que seguimos utilizando hoy en día, se utilizaron otras cruces para el símbolo de la suma: la cruz latina, en horizontal y vertical, la de San Jorge o la de Malta. A pesar de la sencillez del signo – para la resta, cierto grupo de matemáticos lo sustituyó por el signo más complejo ÷, que fue utilizado durante unos cuatrocientos años, incluso con algunas variaciones, como tener solo el punto de arriba. También se utilizó como signo menos, dos barras seguidas “– –” o tres barras “– – –”. Por supuesto, antes de estos signos se utilizaron otros para expresar la suma y la resta.

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10:22
El origen de los signos matemáticos: más + y menos –
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Por Raúl Ibáñez, matemático y profesor de Geometría y Topología de la Universidad del País Vasco (UPV)

La primera vez que aparecen los signos + (más) y – (menos) en un libro impreso es en la obra Mercantile Arithmetic (1489) del matemático alemán Johannes Widman (1462 – 1498). Sin embargo, no utiliza los signos + y – como símbolos de las operaciones aritméticas, sino para expresar exceso y defecto de las mercancías. Por ejemplo, la expresión 3 + 30 quiere decir 3 centner y 30 pfund, que son unidades de peso alemanas. Mientras que como operaciones aritméticas aparecen en el libro de álgebra y aritmética Ayn new Kunstlich Beuch (1518), del matemático alemán Henricus Grammateus (aprox. 1492-1525), como menciona Florian Cajori en su texto A history of mathematical notations (1928).

Sin embargo, esta no es la primera aparición de los signos + y –, ya que se pueden encontrar en algunos manuscritos alemanes (MS C80 de la Biblioteca de Dresde), en latín y alemán, de los últimos veinte años del siglo XV.

Signos + y –, que aparecen en dos expresiones algebraicas, en los manuscritos latinos MS C80, de la Biblioteca de Dresde, del año 1486.

La forma del signo más como una cruz + se debe a que originalmente en los manuscritos latinos se utilizaba la conjunción latina “et”, es decir, la conjunción “y”, para expresar la adición, de la misma forma que hoy se dice “2 y 2 son 4”. El signo + es una de las muchas abreviaturas que existieron de “et”. La primera vez que aparece esta abreviatura + en un manuscrito podría ser la obra Algorismus proportionum (aprox. 1356-1361) del matemático Nicolás de Oresme (1323-1382). Aunque este signo podría no estar en la obra original y haber sido escrito por un copista posterior.

Página de la obra Summa de arithmetica (1494), de Luca Pacioli, en la que aparecen por primera vez los signos , , para representar suma y resta. En esta página vemos también la regla del signo en la multiplicación “más por más siempre es más, menos por menos siempre es más,…” (“più” es más y “meno” es menos en italiano).

Antes del siglo XV se utilizaron en Italia, como en otros lugares, las palabras más y menos en el idioma de escritura (en latín, “plus” y “minus”), de ahí derivaron por abreviatura, las letras “p” y “m” (o con una tilde, o un segmento, encima). Estas abreviaturas, y , aparecen por primera vez en la obra Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494), del matemático italiano Luca Pacioli (1447-1517), y se siguieron utilizando en los siglo XV y XVI. En Italia los signos alemanes + y – empezaron a utilizarse en el siglo XVII. El primer uso de los signos + y – en Gran Bretaña fue en 1557 en el libro The Whetstone of Witte, de Robert Recorde, en el que apareció por primera vez el símbolo = para la igualdad. En España y Francia se utilizaban tanto los símbolos alemanes + y –, como los símbolos italianos “p” y “m”.

Además de la cruz griega + que seguimos utilizando hoy en día, se utilizaron otras cruces para el símbolo de la suma: la cruz latina, en horizontal y vertical, la de San Jorge o la de Malta. A pesar de la sencillez del signo – para la resta, cierto grupo de matemáticos lo sustituyó por el signo más complejo ÷, que fue utilizado durante unos cuatrocientos años, incluso con algunas variaciones, como tener solo el punto de arriba. También se utilizó como signo menos, dos barras seguidas “– –” o tres barras “– – –”. Por supuesto, antes de estos signos se utilizaron otros para expresar la suma y la resta.

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