4minuts de lectura |
En matemáticas se ha acuñado la expresión “demostraciones sin palabras” para designar a diagramas, esquemas o dibujos que, aunque no son realmente demostraciones, nos ayudan a comprender por qué un teorema es cierto o encierran la idea de la verdadera demostración matemática. Además, las “demostraciones sin palabras” son siempre sugerentes, atractivas y todo un ejercicio de estímulo para el pensamiento.
Como comenta el matemático Roger B. Nelsen, autor de los dos libros Proofs without words publicados por la Mathematical Association of America, se fueron haciendo populares a raíz de su publicación, a partir de 1975, en revistas como Mathematics Magazine y The College Mathematical Journal, primero como imágenes de relleno entre artículos y posteriormente como secciones fijas.
Como ejemplo de demostración sin palabras veamos la prueba visual, e incluso táctil, de la fórmula de la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales, publicada por Man-Keung Siu en 1984 en Mathematics Magazine. Realizaremos el esquema de esta demostración sin palabras para n = 4. Para empezar, consideramos tres copias de una cierta estructura geométrica, realizada con cubos del material Live Cube, que refleja la suma de los cuadrados de los 4 primeros números 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 cubos.
Después, se juntan las tres estructuras para formar una estructura compacta.
Los cubos de dicha estructura forman un ortoedro, es decir, un prisma recto de base rectangular, cuya base tiene n = 4 cubos de ancho y n + 1 = 5 cubos de largo, y con una altura de n = 4 cubos, luego n (n + 1) n = 80 cubos en total. Además en la parte de arriba del ortoedro hay 1 + 2 + 3 + 4 cubos más (en general, 1 + 2 + … + n cubos), que aún no habíamos contado.
Teniendo en cuenta la conocida fórmula de la suma de los n primeros números enteros naturales, 1 + 2 + … + n = n (n + 1) / 2, se obtiene, contando la cantidad de cubos que hay en la estructura de las dos formas explicadas, que
Si no conocíais la fórmula de la suma de los n primeros números enteros naturales, aquí os dejo una sugerente demostración sin palabras…
La entrada Demostraciones sin palabras: suma de cuadrados se publicó primero en Aprender a pensar.
Por Javier Bernabeu
Se habla mucho de la importancia de ir de lo concreto a lo abstracto. De que el aprendizaje de las matemáticas y sus símbolos deben partir de la manipulación de objetos concretos antes de llegar a la simbolización que representa dicha experiencia sensorial. ¡Los niños deben aprender mates partiendo de lo concreto! Y yo me pregunto, ¿solo los niños? Hagamos una pequeña prueba que nos permita comprobar hasta qué punto es importante partir de materiales concretos independientemente de ser niño o adulto. Y es que hay muchos adultos (entre los que me incluyo) que seguimos necesitando los materiales para poder resolver situaciones que, aparentemente, son sencillas incluso para un niño de 1.ºEP. A continuación, propondré un problema “sencillo” con una serie de preguntas. Trata de responder a cada pregunta con mente de adulto a la mayor velocidad que puedas… ¿Preparado? Ahí va:
Ana tiene 5 caramelos. Pepe tiene 4 caramelos
1.¿Cuántos caramelos tiene Ana?
2. ¿Cuántos caramelos tiene Pepe?
3. ¿Quién tiene menos caramelos, Ana o Pepe?
4. ¿Quién tiene más caramelos, Ana o Pepe?
5. ¿Cuántos caramelos más tiene Ana?
Pepe da uno de sus caramelos a Ana
1.¿Quién tiene más ahora?
2. ¿Cuántos más?
La respuesta a las 6 primeras preguntas se resuelven por comparación de cantidades sencillas. Sencillas para nosotros, adultos, que tenemos perfectamente interiorizado que el dibujo “5” representa una cantidad mayor que el dibujo “4”. La pregunta 7 requiere poner en marcha nuestro cerebro. Buscar una estrategia que nos permita resolver satisfactoriamente a la pregunta. La repuesta a la pregunta 7 es: “Ahora Ana tiene 3 caramelos más que Pepe”. ¿Respondiste 3 caramelos más o 2 caramelos más?
¿Por qué es importante manipular las mates desde que se es pequeño?
Resolvamos con manos y mente de niño:
Comenzaremos estableciendo la unidad (caramelo en el problema de hoy).
¿Cuántos caramelos tiene Ana? ¿Cuántos tiene Pepe? ¿Quién tiene más? Con la representación anterior las preguntas de la 1 a la 4 se resuelven sin dificultad. En la pregunta 5, los niños suelen utilizar su dedo índice para señalar el hueco de la diferencia entre lo que tiene Pepe y lo que tiene Ana.
La historia del problema sigue así: “Pepe le da un caramelo a Ana”. La reacción típica de los niños es “¡Jooo qué morro, encima de que tiene más!” y es que la justicia es la justicia. En fin, la realidad es que ejecutan la acción pedida y le quitan un caramelo a Pepe para dárselo a Ana. Quedando su representación así:
La pregunta 6: “¿Quién tiene más?” es una pregunta ancla que es importante para que el alumno vuelva a analizar la situación que tiene delante de sus ojos. Ahora puede resolver la pregunta 7 desde el conteo o estableciendo “de súbito” la solución por comparación. “Ahora Ana tiene 3 caramelos más que Pepe”… ¡Qué morro! (vuelven a gritar). Benditos gritos esos que denotan razón y emoción.
Este problema que hemos analizado forma parte del Proyecto “Piensa Infinito. Metodología Singapur” de la editorial SM. Proyecto del que tengo la suerte de ser asesor pedagógico y formador. Este proyecto me ha brindado la oportunidad de visitar decenas de aulas para poder ver cómo se está implantando la metodología y aprender mucho, muchísimo de los profes y mucho, muchísimo de las reacciones de los niños… ¡Se les escucha pensar en voz alta! Muchas gracias a todos los profes que en el curso 17/18 nos abristeis las puertas de vuestras aulas y nos dejasteis aprender de vosotros, aprender con vosotros… ¡Y aprender de vuestros niños y con vuestros niños!
¿Respondiste 3 caramelos más o 2 caramelos más? Yo dije, 2 caramelos más.
La entrada La importancia de tocar las mates se publicó primero en Aprender a pensar.
Por Luis Español González
Equipo de Coordinación del GHM/RSME
Hace poco más de un año este «Grupo especializado RSME» se presentó ante los interesados en la Biblioteca Estímulos Matemáticos de SM. Baste recordar que el GHM/RSME se dedica a difundir y potenciar el gusto y la curiosidad por, el estudio de y la investigación en historia de las matemáticas, y lo hace queriendo llegar a todas las personas que forman la comunidad matemática, entendida en el sentido más abierto posible. El Grupo tiene un equipo de coordinación de tres miembros que estamos accesibles por correo electrónico desde la página web de la RSME para cualquier contacto relacionado con la historia de las matemáticas.
Tenemos un interés especial en el papel que la historia juega en la educación matemática, tanto en la formación de los profesores cuanto en su posterior ejercicio profesional; también nos ocupamos de la presencia de la historia de las matemáticas en la divulgación de esta maravillosa ciencia. Invitamos, por ejemplo, a visitar la Sección de Historia de La Gaceta de la RSME para ver en ella artículos dedicados a diversos aspectos de la educación matemática, vinculados en la mayoría de los casos a biografías de destacados profesores.
Está accesible en el mismo portal digital el archivo completo de los números semanales del Boletín de la RSME, una publicación electrónica que toma el pulso a la actividad societaria con todo su rico y complejo mundo de relaciones institucionales, científicas y culturales.
Desde marzo de 2018, el GHM/RSME mantiene en el Boletín una sección llamada «Mat-Historia», rótulo que va acompañado de un pequeño icono alusivo a la famosa figura que ilustra la demostración del teorema de Pitágoras en la emblemática obra Elementos de Euclides.
El objetivo de la sección es mantener agrupadas la noticias de actualidad sobre historia de las matemáticas que van surgiendo y pueden tener interés para un público amplio. En principio, pensamos mantener un ritmo quincenal en las apariciones de Mat-Historia, pero el realismo ha impuesto una cadencia mensual, que nos lleva a la entrega nº 10 en diciembre de 2018.
Para quien tenga curiosidad por ver sus contenidos, indicamos que la sección Mat-Historia ha ido apareciendo en los Boletines nº 573, 575, 578, 581, 584, 588, 592, 596 y 601. Una de las actividades que se recogen es la celebración de aniversarios y otras efemérides asociadas a la historia de las matemáticas; así, este año se ha dado cuenta de la conmemoración del centenario de la muerte del gran matemático alemán George Cantor, artífice de la teoría de conjuntos, así como de las celebraciones en Colombia del 250 aniversario del nacimiento de Francisco José de Caldas, un ilustrado que tuvo un papel relevante en la ciencia y en la independencia de su país.
Otro de los objetivos del GHM es organizar reuniones científicas sobre historia de las matemáticas, en particular sesiones especiales en los congresos bienales de la RSME y en los mixtos con otras sociedades matemáticas. Acabamos de completar el programa de la que tendrá lugar durante el próximo Congreso Bienal RSME 2019, que se va a celebrar en Santander, acogido por la Universidad de Cantabria, del 4 al 8 de febrero; la mencionada Sesión Especial 15, Historia de las Matemáticas, ha sido programada para los día 7 y 8 de dicho mes.
La entrada Divulgación de historia de las matemáticas se publicó primero en Aprender a pensar.
Es frecuente escuchar que en el ámbito de la educación moral del alumnado existen fuertes desacuerdos, que se ponen de manifiesto en la convivencia de alumnos de distinto origen cultural y religioso, o entre la voluntad de la familia y la de la escuela. No hace mucho, el 24/02/2014, el Tribunal Constitucional volvió a sentenciar en contra de quienes reclamaban que sus hijos no recibieran enseñanza de Educación para la Ciudadanía y los Derechos Humanos, resolviendo un desacuerdo profundo que había llevado a una familia a desobedecer la Ley Orgánica de Educación.
En esa sentencia se zanja un posible descuerdo y se afirma, por el contrario, que «existe un acuerdo generalizado en la necesidad de que la educación moral, o enseñanza de la ética, sea un objetivo prioritario de los sistemas educativos formales, en especial de los obligatorios»; además, estas enseñanzas «forman parte del contexto escolar europeo como expresión de la estrategia de la Unión Europea en orden a los distintos sistemas educativos nacionales promuevan los valores democráticos y de participación creando ciudadanos cívicos y responsables»; y para completar afirma que «las sociedades democráticas pueden compartir una serie de valores ante los cuales los estados y los poderes públicos no permanecen neutrales, so pena de hacer inviable el propio sistema democrático, y tales valores pueden ser divulgados a través de la educación».
Incluso la sentencia va más allá de lo que podría ser una pretendida ética de mínimos y afirma con contundencia máxima que «la Constitución española no es axiológicamente neutral, en cuanto se enmarca en un determinado contexto constitucional sin que sea posible abdicar de la orientación ética basada en valores constitucionales que se desprende de la misma, llegando a destacar que incluso frente a los valores no comunes o diferenciales el estado viene obligado a mantener una actitud positiva, de la misma manera que ha de desplegar una actitud beligerante con los valores contradictorios a aquellos que incorpora la Constitución.»
Se puede decir más alto, pero no más claro. Y lo curioso es que, haciendo las necesarias correcciones impuestas por el contexto, esa sentencia podría aplicarse a lo que decía la Constitución de 1812: «artº 366. En todos los pueblos de la Monarquía se establecerán escuelas de primeras letras, en las que se enseñará a los niños a leer, a escribir y contar, y el catecismo de la religión católica, que comprenhenderá también una breve exposición de las obligaciones civiles.» En el marco de una sociedad confesional, aquella constitución era claramente democrática, en la etapa inicial de lo que hoy entendemos por democracia, y apostaba por formar en obligaciones cívicas.
Aunque todavía se dan ciertas resistencias, el consenso al respecto es claro y es un consenso de máximos, no de mínimos: todas las escuelas deben comprometerse «con actitud beligerante» en la defensa de los valores que configuran las sociedades democráticas dotándolas de legitimidad. También las familias en su vida cotidiana. Y toda la sociedad si pasamos al ámbito de la educación informal. Máximo coraje necesitó Guus Hiddink para exigir y lograr la retirada de símbolos nazis en un campo de fútbol. Esos son valores que se presentan con rasgos de universalidad y objetividad, como es el caso de los Derechos Humanos, si bien su aplicación concreta puede dar pie a decisiones políticas divergentes. Y están, como es obvio, sujetas a sucesivas modificaciones y adaptaciones que, sin variar el fondo sustantivo, los concreten ateniéndose a los diferentes contextos.
Hay acuerdo, por tanto, en un conjunto sólido de valores vinculados a la vida en una sociedad que aspira a ser democrática, acuerdo al que se ha ido llegando poco a poco según las relaciones entre las diferentes culturas y naciones se iban haciendo más intensas y el mundo se hacía también más pequeño. El acuerdo cristalizó inicialmente en la Declaración Universal de los Derechos Humanos, de 1948, en cuya redacción participaron representantes de diferentes países, culturas y religiones.C
Eleanor Roosevelt sostiene un cartel con la Declaración Universal de los Derechos HumanosComo bien decía Maritain, tras su participación en la redacción de esta declaración, el acuerdo fue posible, porque se dejaron a un lado los conceptos especulativos, las grandes concepciones del mundo y del ser humano, y los representantes de 48 países de todo el mundo —algunos tan poco occidentales como Afganistán, Irak, Birmania, Egipto o Etiopía— se centraron en conceptos comunes prácticos y en la afirmación de convicciones relacionadas con la acción. Llegar a ser conscientes de ese cuerpo compartido de convicciones prácticas sobre la conducta humana no fue en absoluto un logro menor, sino una autentica hazaña.
Cierto, el acuerdo fue facilitado por la brutal experiencia de la guerra mundial previa, apostando porque ese conjunto de valores, arraigados en las personas y las instituciones políticas, sociales, culturales y económicas, podría ayudar decisivamente a mantener la paz y la justicia.
El acuerdo existe, aunque luego sigan se mantengan desacuerdos en el reconocimiento y aplicación de dichos derechos, como no podía ser de otro modo. Y también existe, aparentemente, algún desacuerdo sobre el mejor modo de enseñarlos en los centros educativos. La educación moral se imparte de maneras bien diferentes. Pero de esto no da tiempo a hablar en este breve escrito.
Félix García Moriyón es profesor honorario del Departamento de Didácticas Específicas de la UAM y Coordinador del grupo de formación e investigación en la resolución de problemas morales Niaia.
La entrada Acuerdos en educación moral o ética se publicó primero en Aprender a pensar.
Le agradezco muy sinceramente la invitación, pero antes de aceptarla creo que es mi deber comentarles alguna cosa sobre mis convicciones pedagógicas.
1. Yo no sólo no me considero innovador sino que entiendo la novolatría como un síntoma de la decadencia del discurso pedagógico.
2. Lo bueno me interesa mucho más que lo nuevo.
3. No creo que las tecnologías (nuevas o viejas) sean otra cosa que prótesis antropológicas que amplifican, para bien o para mal, lo que cada uno ya es.
4. No me interesa tanto adivinar cuál será el mundo del futuro como comprender qué cambios se han dado ya en el presente para que nos obsesione el futuro.
5. Soy un defensor firme -cada vez más firme- del peso del conocimiento en la formación de una persona.
6. Me interesan las evidencias pedagógicas que soportan las propuestas educativas. Desconfío mucho de las buenas intenciones no soportadas en evidencias sólidas.
7. Tiendo a desconectar cuando oigo hablar de neurodidáctica, de educación emocional o de cambio de paradigma educativo.
8. Creo que el discurso sobre las llamadas “competencias del siglo XXI” es un timo intelectual.
Si, conociendo lo anterior aún siguen pensando que mi intervención en su “programa” puede ser de algún interés, con mucho gusto hablaría del error como ocasión de aprendizaje.
Con toda cordialidad
Gregorio Luri