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1- Rechazo (o débil aceptación) de las reglas democráticas del juego. | ¿Rechazan la Constitución o expresan su voluntad de no acatarla? ¿Sugieren la necesidad de adoptar me- didas antidemocráticas, como cancelar elecciones, incumplir o suspender la Constitución, prohibir determinadas organizaciones o restringir los derechos políticos o civiles básicos? ¿Pretenden usar (o aprueban el uso de) medidas extraconstitucionales para cambiar el Gobierno, como golpes militares, insurrecciones violentas o manifestaciones masivas destinadas a forzar un cambio en el Gobierno? ¿Intentan socavar la legitimidad de las elecciones, por ejemplo negándose a aceptar unos resultados electorales creíbles? |
2- Negación de la legitimidad de los adversarios políticos. | ¿Describen a sus rivales como subversivos o contrarios al orden constitucional establecido?¿Afirman que sus rivales constituyen una amenaza existencial, ya sea para la seguridad nacional o para el modo de vida imperante?¿Describen sin argumentos a sus rivales de otros partidos como delincuentes cuyo supuesto incumplimiento de la ley (o potencial para incumplirla) los descalifica para participar de manera plena en la esfera política?¿Sugieren de manera infundada que sus rivales son espías extranjeros que trabajan secretamente en alianza (o a sueldo de) un Gobierno foráneo, normalmente de un país enemigo? |
3- Tolerancia o fomento de la violencia. | ¿Tienen lazos con bandas armadas, con fuerzas paramilitares, con milicias, guerrillas u otras organizaciones vio- lentas ilegales? ¿Han patrocinado ellos mismos o sus aliados de partido linchamientos a adversarios? ¿Han apoyado de manera tácita la violencia de sus partidarios negándose a condenarla y penalizarla sin ambi- güedades? ¿Han elogiado (o se han negado a condenar) otros actos destacados de violencia política, tanto pasados como acontecidos en otros lugares del mundo? |
4- Predisposición a restringir las libertades civiles de la oposición, incluidos los medios de comunicación. | ¿Han apoyado leyes o políticas que restringen las libertades civiles, como ampliar las leyes por libelo o difamación o aprobar leyes que limitan el derecho de manifestación, las críticas al Gobierno o a determinadas organizaciones civiles o políticas? ¿Han amenazado con adoptar medidas legales u otras acciones punitivas contra personas críticas pertenecientes a partidos de la oposición, la sociedad civil o los medios de comunicación? ¿Han elogiado medidas represivas adoptadas por otros Gobiernos, ya sea en el pasado o en otros lugares del mundo? |
Por Fina Arévalo, Gerente de Ciencias de SM
Comienzo esta entrada con un agradecimiento y reconocimiento a dos personas. A Luis Berenguer, a quien conocí hace casi 10 años en las XIII Jaem. Él me inspiró y enseñó que “otra manera de aprender es posible”. Desde entonces y hasta ahora, he estado buscando y aprendiendo a hacer matemáticas, grandes matemáticas, con los más pequeños y con materiales sencillos. Cada vez que nos volvemos a ver, aprendo algo de nuevo, gracias a su generosidad y sencillez. Esa misma generosidad y sencillez la vivo desde hace años cada día de Javier Bernabeu, que me enseña cada día cosas nuevas. Su cabeza, en constante ebullición, no para de buscar nuevas maneras para comprender y hacer matemáticas. Muchísimas gracias a los dos.
Esa nueva visión de Luis Berenguer me hizo buscar, leer, desaprender, aprender,… Piaget, Bruner, Vigotsky,… hablan de la necesidad de que el niño vaya “desde lo concreto hasta lo abstracto” y de que “todo pensamiento matemático surge de acciones, y los conceptos matemáticos tienen su origen en los actos que los niños lleva a cabo con los objetos”; es decir que lo que importa del uso de cualquier material son las acciones sobre el material, no el material en sí mismo. Es el niño quien con sus acciones sobre los materiales va descubriendo y estableciendo relaciones y las formula en su lenguaje. Por tanto, debemos huir de la tentación de transmitir o contar ese concepto, intentando que haya menos enseñanza y más aprendizaje, así como de la utilización de los materiales para una mera comprobación de resultados, y que sí sean el vehículo de un pensamiento más profundo y significativo.
El material que os proponemos trabajar hoy, son las plaquetas de Herbinière Lebert, que desarrolló Suzanne Herbinière Lebert allá en los años 50 para trabajar los números y el cálculo en edades tempranas.
Hace no mucho, conseguí hacerme con el material del profesor de las plaquetas de Herbinière Lebert y algunos manuales, dónde se explicaba o explotaba el uso de este material.
Al igual que las regletas Cuisenaire, permiten construir los números por composición y descomposición y conduce de manera natural a presentar el concepto del número estableciendo relaciones de suma y de resta.
Partiremos de algo más concreto como bolitas de papel, canicas, …y comenzaremos a establecer la unidad, oponiéndola a “varios” o a “muchos”. Les enseñaremos una bolsa con muchas canicas dentro. Le preguntaremos: ¿Cuántas canicas hay? Y ellos dirán: muchas. Sacaremos alguna canica de la bolsa y les volvemos a preguntar, ¿cuántas canicas hay ahora? Ellos contestarán que menos, pero todavía hay muchas. Repetiremos el proceso hasta que solo quede 1 en la bolsa y volveremos a preguntar. Contestarán: una bolsa canicas
Ahora le añadiremos otra canica y les preguntaremos, algunos dirán que es dos, otros, varias, pero dirán que este varias es más pequeño que muchos. Si surgen dudas en diferenciar dos y muchos, podemos preguntarles ¿qué prefieres tener, dos o muchos? Y enseguida se genera un debate y se llega rápidamente a diferenciar dichos conceptos.
Un paso intermedio, antes de trabajar con las plaquetas, es que ellos representen con gomets lo que acaban de descubrir con las canicas. Los puntos les llevarán fácilmente a trabajar con las plaquetas.
Podemos hacerlo de manera inversa y pedirles que representen con los gomets uno, dos y muchos:
Una vez familiarizados con estos conceptos y la representación, ya podemos repartirles las plaquetas y empezar a establecer la unidad. Para descubrir el número 2 o cualquier número lo hacemos por iteración de la unidad, añadiendo una unidad.
¡Vamos a por el 3 con el material del profesor!
Podríamos hacerlo como un 1 y 1 y 1, pero si le pedimos a los niños que lo hagan con el menor número de piezas posible, podemos partir del 2 (ya conocido) y le añadimos otra unidad. Pedir al alumno que encuentre una plaqueta que coincida con la figura.
A partir de aquí algún alumno podría haber representado de otras formas el número 3 y se ha introducido de manera natural o implícita la propiedad conmutativa, sin utilizar “palabros” innecesarios.
Así, podemos construir cada plaqueta añadiendo un elemento o unidad a los ya conocidos, así el niño descubre intuitivamente el principio de la base de la numeración, la sucesión de los números se crea al añadir una unidad. Esto puede parecer un trabajo repetitivo o monótono o tener la sensación de que se está perdiendo el tiempo, pero como dijo Rousseau: “el mejor modo de ganar tiempo es saber perderlo”.
Para comprobar que el niño ha interiorizado la forma de construcción de los números podemos realizar las siguientes actividades:
Es muy importante tener en cuenta que la acción debe anteceder a la verbalización y esta a la escritura. Por ello, en este momento que ya hemos comprendido los números podemos comenzar con su grafía. Otra actividad importante son las distintas descomposiciones que puede tener cada plaqueta de manera inmediata, como por ejemplo:
De manera manipulativa, hemos introducido el concepto de suma a partir de la acción de unir y juntar. No es necesario definirlo, pero sí escribimos simbólicamente lo que se ha hecho manipulativamente. Para asegurarnos de que lo han entendido podemos preguntarles: ¿qué haremos si ponemos + 3?
Una vez dominado este proceso, podemos realizar actividades de manera recíproca:
Hasta aquí la primera parte del trabajo que podemos realizar con este material. Hay mucha gente que le da importancia en este material a la fácil identificación de los números pares e impares, aunque a mí me parece anecdótico frente al potencial que tiene. Os dejo aquí la representación de los números. A ver si podéis explicarme con palabras de niños qué os sugiere esta imagen.
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Por el Comité RSME-IMAGINARY (2010-2018)
La iniciativa IMAGINARY comenzó en el año 2007 en el Instituto de Matemáticas de Oberwolfach, con el objeto de promover las matemáticas en Alemania. España fue el segundo país que compartió la iniciativa. La Real Sociedad Matemática Española creó en 2010 la versión RSME-IMAGINARY, que se presentó en Madrid en la Apertura del Centenario de la RSME en 2011.
El éxito de RSME-IMAGINARY, que recorrió en 2011 y 2012 las principales ciudades españolas con sedes en sus principales museos e instituciones científicas y culturales, atrajo a cientos de miles de visitantes. Entre sus diversas manifestaciones se encuentran, la versión itinerante original, la museística, realizada por Cosmo-Caixa, la permanente en Zaragoza, y el primer congreso IMAGINARY, que tuvo lugar en el Museo de Historia de Barcelona en 2012.
Transcurridos 10 años, desde 2017 IMAGINARY constituye una organización internacional de comunicación matemática, interactiva, basada en la investigación y de código abierto. Desde su inicio, han tenido lugar alrededor de 350 eventos en cerca de 60 países, 27 de ellos en España que continúa siendo el primer y principal nodo territorial de la organización a través de RSME-IMAGINARY. Hoy día, los idiomas de IMAGINARY son ya más de 30, entre los que se encuentran las cinco lenguas de España y Portugal. La presencia en Iberoamérica es amplia.
El periodo de exposición itinerante desde 2007 a 2012, basada en arte y matemáticas y que continua en la actualidad, se completó con la plataforma en abierto imaginary.org, creada en 2013, que se puso en marcha coincidiendo la inauguración del programa internacional MPE “Matemáticas para el Planeta Tierra”, promovido por la UNESCO, ICMI e IMU. IMAGINARY ha coordinado las dos ediciones, de 2013 y 2017, del concurso internacional de módulos para la exposición de código abierto MPE.
La actividad de la organización IMAGINARY abarca también hoy día, la presentación de propuestas para la enseñanza, la realización de conferencias públicas y talleres, así como la creación de nuevas competencias, la formación docente o la experimentación con nuevas tecnologías. Todo ello compartido con la comunidad interesada por las matemáticas y las personas que promueven dicho interés.
La relevancia social de IMAGINARY es importante en la actualidad, y creciente. Se ha celebrado un segundo congreso IMAGINARY en Berlín en 2016; el próximo tendrá lugar a finales de 2018 en Montevideo.
Desde la RSME-IMAGINARY, se contribuye destacadamente a todas las líneas de interés de IMAGINARY, liderando la actividad en muchas de ellas, principalmente las que afectan a la difusión cultural, a la enseñanza y a la investigación matemática, aspectos en los que nuestro modelo organizativo se considera reconocido, avanzado y eficaz.
Más información en
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Arthur Cayley. Fuente: [https:]
Por Raúl Ibáñez, profesor de Geometría y Topología de la UPV
Arthur Cayley (1821-1895) fue el matemático puro por excelencia de la Gran Bretaña del siglo XIX y uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, con 976 artículos publicados y un libro. Investigó en todas las ramas de la matemática pura, pero sin lugar a dudas sus contribuciones más importantes fueron en álgebra, siendo uno de los artífices del nacimiento del álgebra moderna, y de la geometría. Su nombre está asociado al teorema de Cayley-Hamilton del álgebra matricial, a los determinantes, a los números de Cayley de la teoría de álgebras, al origen de la teoría de invariantes, al teorema de Cayley de teoría de grupos, a los espacios multidimensionales, a la noción de distancia en los espacios proyectivos y las geometrías no euclídeas, a la geometría algebraica con sus estudios sobre curvas y superficies cúbicas o a la fórmula de Cayley para árboles etiquetados.
En 1857, Arthur Cayley inventó un juego de cartas, relacionado con las permutaciones, al que llamó “La ratonera” (Un problema sobre permutaciones, Quart. Math. J.). En este juego se necesitan n cartas numeradas del 1 a n, por ejemplo 13, como en la baraja francesa. Se barajan bien las cartas, es decir, formando de este modo una permutación de las n cartas o, equivalentemente, del conjunto {1, 2, …, n}. Se coge el mazo de las n cartas barajadas, con los números hacia abajo, y se empiezan a coger las cartas, una a una, por la parte de arriba, a la vez que se va contando. Primera carta “1”, segunda carta “2”, tercera carta “3”, etcétera. Si el número de la carta que se coge coincide con el número que se está contando se retira dicha carta y se empieza a contar de nuevo desde “1” con la siguiente carta de arriba. En caso contrario, se coloca la carta en la parte de abajo del mazo y se continúa contando. Se gana en La ratonera si se terminan retirando todas las cartas, pero si se llega a contar hasta n + 1 (14 en el caso de 13 cartas) se habrá perdido.
Supongamos que se juega con 5 cartas, de forma que tras barajar quedan en el siguiente orden, de arriba abajo 3, 2, 5, 4, 1 (como en la imagen), se descarta primero la carta 2, después la carta 5, seguida de la carta 3 y ya no se puede descartar ninguna carta más. Mientras que con la posición inicial 4, 2, 3, 5, 1, se van descartando las cartas 2, 4, 5, 1 y finalmente la carta 3, con lo que se gana en el juego.
La cuestión que se plantea en relación a este juego es conocer para cuántas de las permutaciones posibles, es decir, formas de barajar las cartas, se puede ganar en la ratonera, y en general, para cuántas permutaciones quedarán solamente un número k de cartas. Por ejemplo, para n = 4, las permutaciones {1, 2, 4, 3} y {2, 1, 3, 4} son ganadoras, mientras que {1, 2, 3, 4} y {3, 2, 1, 4} no, en la primera solo se elimina la carta 1 y en la segunda las cartas 2 y 1. Además, Cayley muestra las permutaciones para las que las cartas se van retirando en el orden natural creciente, jugando desde con 1 hasta 8 cartas: {1}, {1, 2}, {1, 3, 2}, {1, 4, 2, 3}, {1, 3, 2, 5, 4}, {1, 4, 2, 5, 6, 3}, {1, 5, 2, 7, 4, 3, 6} y {1, 6, 2, 4, 5, 3, 7, 8}.
Y en la nota Sobre el juego de la ratonera (Quart. Math. J., 1878), Cayley analiza completamente el caso de 4 cartas. Para las 24 permutaciones de las 4 cartas, se descartan las siguientes cartas:
Luego, existen 6 juegos ganadores para la ratonera de 4 cartas, 3 para los que se descartan 2 cartas, 6 para los que se retira una sola carta y 9 para los que no se puede retirar ni una sola carta.
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