22460 temas (22268 sin leer) en 44 canales
“La mente emerge de la complejidad del funcionamiento cerebral”
Martin Luther King |
Catalina fue declarada culpable y condenada a vivir fuera del pueblo de Cebreros, porque la Inquisición no sólo desconfiaba bastante de las acusaciones contra las brujas sino que a lo largo de su historia se mostró bastante indulgente con ellas. En España se condenaron a muerte muchísimas menos brujas que en cualquier otro lugar de Europa.Estrella señorita
lleva un signo
a mi amigo Fulano [obviamente aquí debe decirse el nombre que corresponda]
y no le dejes ni beber ni dormir,
ni descansar ni gozar con otra mujer
mas haz que vuelva a buscarme
haya nacido o esté por nacer,
pero que vuelva a verme.
Que Isaac me lo amarre, Abraham me lo traiga, Jacob me lo entregue.
Si existe una sucesión de números enteros que se puede decir que “todo el mundo conoce”, esa es la sucesión de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … que fue introducida por el matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1241), conocido como Fibonacci (hijo de Bonaccio), en su libro Liber Abaci – El libro del ábaco (1202), como solución a un problema de ingenio, el famoso problema de los conejos.
A partir de entonces, se convirtió en un tema de interés dentro de las matemáticas, y posteriormente, también de la sociedad en su conjunto, formando parte incluso de todo tipo de obras artísticas. Como es conocido, cada término de la sucesión fn se obtiene como suma de los dos términos anteriores, es decir, fn = fn-1 + fn-2, para n = 0, 1, 2,… Sin embargo, no todo el mundo sabe que esta sucesión ya era conocida varios siglos antes de Fibonacci por los estudiosos indios de la métrica en sánscrito.
En la poesía en sánscrito, lengua antigua y culta de la India, existían dos tipos de poemas, aquellos con un número fijo de sílabas por verso (llamados varna–vrttas), como en los sonetos, cuyos versos tienen 11 sílabas, y los que tenían un número fijo de “moras” (llamados matra–vrttas), como los haikus en la poesía japonesa. En sánscrito, como en algunas otras lenguas, existían dos tipos de sílabas, unas cortas (llamadas laghu), con una mora, o tiempo silábico, y otras largas (llamadas guru), con dos moras.
Los estudiosos de la métrica en sánscrito analizaban las posibles estructuras que se producían en ambos tipos de poemas. Por ejemplo, si llamamos C a una sílaba corta y L a una larga, un verso de tipo varna–vrttas de tres silabas tiene 8 estructuras posibles, en función de sus moras: CCC, LCC, CLC, CCL, CLL, LCL, LLC y LLL. Luego, el número de sílabas se mantiene, pero no el de moras, que va desde 3 hasta 6, según la estructura. Pero, veamos cuántas estructuras posibles existen para los versos matra–vrttas, para versos con 1, 2, 3, 4 o 5 moras.
El número de variaciones posibles, para versos con 1, 2, 3, 4 o 5 moras, es 1, 2, 3, 5 y 8, que son números de Fibonacci. Pero fijémonos, por ejemplo, en las estructuras de los versos con 4 moras, los podemos dividir en dos tipos, los que terminan en una sílaba larga (L), que son las dos estructuras con 2 moras (L y CC) a las que se ha añadido dos moras mediante una sílaba larga (LL y CCL), y los que terminan en una sílaba corta (C), que son las tres estructuras con 3 moras (LC, CL y CCC) a las que se ha añadido una mora mediante una sílaba corta (LCC, CLC y CCCC). En consecuencia, hay 2 + 3 = 5 posibles estructuras con 4 moras.
Si ahora quisiéramos ver cuántas estructuras diferentes existen para los versos de la métrica matra–vrttas con 6 moras, obtendríamos que son 13, los generados a partir de los de 4 moras al añadirle una sílaba larga (L), que son 5, y los generados a partir de los de 5 moras al añadirles una sílaba corta (C), que son 8, luego en total 5 + 8 = 13. En concreto, LLL, CCLL, LCCL, CLCL y CCCCL, junto con LCLC, CLLC, CCCLC, LLCC, CCLCC, LCCCC, CLCCC y CCCCCC.
Por tanto, lo que estamos diciendo es que el número de estructuras posibles con m moras es igual a la suma del número de estructuras con m – 1 y m – 2 moras, que es el motivo por el que salen los números de Fibonacci. En resumen, ¡la cantidad de estructuras posibles para versos matra–vrttas con m moras es igual al número de Fibonacci Fm!
¿Desde cuándo se conocía este hecho? Aunque hay quien piensa que la primera autoridad en el estudio de la métrica en sánscrito Acarya Pingala, que vivió entre el 700 a.c. y el 100 d.c., ya era conocedor de esta realidad, lo cierto es que el primer texto en el que se explica la regla de formación del número de estructuras de matra–vrttas fue Acarya Virahanka, quien vivió entre los siglos sexto y octavo. En una de sus obras puede leerse algo así: “Juntando las variaciones de las dos métricas anteriores, se obtiene la cantidad. Este es un método para conocer el número (de variaciones) de la siguiente matra–vrtta”. Otros estudiosos incluso mencionaron explícitamente la sucesión de números “1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …”.
La entrada La poética sucesión de Fibonacci se publicó primero en Aprender a pensar.
Por María Gaspar Alonso-Vega
Presidenta de la Comisión de la Olimpiada de Matemática Española
Se colocan 2n + 1 fichas blancas y negras en una fila (n es mayor o igual que 1). Se dice que una ficha está equilibrada si el número de fichas blancas a su izquierda, más el número de fichas negras a su derecha es n. Determina razonadamente si el número de fichas que están equilibradas es par o impar.
Ese es el enunciado de uno de los seis problemas propuestos en la 54 Olimpiada Matemática Española, la correspondiente al curso 2017-2018.
Fue en 1963 cuando la RSME, en su Junta General celebrada en Salamanca, decidió la puesta en marcha de la Olimpiada Matemática, que tuvo su primera edición en 1964. Las becas que recibían los ganadores de la Olimpíada les permitieron completar sus estudios de matemáticas fuera de sus ciudades de residencia, en una época en la que estudiar matemáticas solo era posible en cuatro universidades españolas.
La Olimpiada Matemática Española nació siguiendo el modelo de la Olimpiada Internacional y, al igual que esta, ha resultado ser, a lo largo de su más de medio siglo de existencia, una estupenda cantera de matemáticos. Como ejemplo, podemos citar a matemáticos de la talla de Terence Tao, Grigori Perelman o Cédric Villani, todos ellos galardonados con la muy prestigiosa Medalla Fields. Pero unos cuantos años antes, siendo adolescentes, habían recibido sus primeros premios en forma de Medalla de Oro en la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Y, por supuesto, a estos nombres, que son solamente algunos entre muchos otros, podemos añadir uno más, de especial y singular significado: el de Maryam Mirzhakani, dos veces Medalla de Oro en la Internacional, y hasta la fecha la única mujer premiada con la Medalla Fields.
La Olimpiada Matemática Española se dirige principalmente a estudiantes de Bachillerato, pero ocasionalmente también participan – a veces con gran éxito – estudiantes más jóvenes. Cada año, los seis ganadores de la edición correspondiente constituyen el equipo que participa representando a España en la Olimpiada Internacional y en la Olimpiada Iberoamericana más adelante.
Los problemas propuestos en las olimpiadas tratan de ser originales, de medir intuición y creatividad más que conocimientos y técnicas adquiridas. Pero, sobre todo, deben constituir un reto para los participantes. Giran alrededor de áreas de matemática elemental como geometría, teoría elemental de números, álgebra y combinatoria, y resolverlos significa, en muchos casos, realmente hacer matemáticas.
Y sí, la Olimpíada es, desde luego, una competición, como lo son, por otra parte, las competiciones deportivas. En ellas hay problemas, premios y medallas. Pero no se trata solamente de eso. Lo que recuerdan con el paso del tiempo quienes en ellas participan no es su aspecto competitivo, sino la experiencia vivida y el extraordinario ambiente de camaradería y colaboración que surge entre todos los concursantes.
La entrada La Olimpíada Matemática se publicó primero en Aprender a pensar.
Las tablas se pueden razonar y se deben razonar. No hay un único camino para multiplicar. ¿Por qué nos empeñamos en enseñar a los niños nuestro camino?
Consejo 1. Adiós a la memorieta
Forzar a un niño a memorizar las tablas de multiplicar ordenadas, desordenadas, de atrás hacia adelante y de adelante a atrás es como si, de repente, a nosotros nos hacen memorizar esto:
O esto otro:
Con buena capacidad memorística podemos ser capaces de memorizar los logaritmos de los 10 primeros números y podemos ser capaces de memorizar la lista de los reyes Godos.
Pero… ¿Y si falla la memoria?
Las “tablas” se pueden razonar y se deben razonar. Entrecomillo “tablas” porque con los consejos que daré a continuación no hay tabla que aprender, simplemente aprenderemos a resolver productos (resolveremos de igual manera 7 × 8 o 32 × 8).
He mentido un poquito en el párrafo anterior. Sí hay algunas “tablas” que aprender. Les pediremos que aprendan esas que menos les cuestan: la del 1, la del 2 y la del 5.
Consejo 2. ¿Qué debe saber el niño antes de enfrentarse a las multiplicaciones?
El alumno debe dominar la suma. Con esto no quiero decir que vayamos a recurrir a esas gigantescas sumas para resolver 8 × 7 (8 + 8 + 8 + 8 … o 7 + 7 + 7 + …) ¡Nada de eso, por favor!
Debemos dominar la suma para poder encontrar atajos rápidos que permitan llegar al resultado deseado.
Debemos trabajar previamente la suma en línea y de izquierda a derecha. Esto es un trabajo que debería iniciarse en primero de primaria, aunque nunca es tarde.
Ejemplos:
34 + 20 es 50 y 4 que es 54
25 + 32 es 50 y 7 que es 57
46 + 14 es 50 y 10 que es 60
47 + 34 es 70 y 11 que es 81
Lógicamente, para poder resolver las sumas descritas anteriormente el niño debe dominar la suma de números de una cifra. En la mayoría de los casos, el problema en las aulas es que se abandona rápido el trabajo con números de una cifra. Pero, como he dicho antes, nunca es tarde.
Consejo 3. Ya sabe sumar… ¿Y ahora qué?
Antes de empezar a resolver multiplicaciones como locos, vamos a ver si saben jugar a la palabra prohibida:
– Profesor: Juan, ¿cómo dices 3 sin decir 3?
-Juan: ¡2 y 1!
-Profesor: Rosa, ¿cómo dices 7 sin decir 7?
-Rosa: ¡4 y 3!
-Profesor: Rosa, ¿y eres capaz de decir 7 diciendo 5?
-Rosa: ¡5 y 2!
Las dinámicas de descomposición son fundamentales, pues es el recurso que utilizaremos para resolver cualquier multiplicación.
Consejo 4. Transformando multiplicaciones desconocidas en otras conocidas
Retomamos aquellas tablas que hemos quedado que aprenderían (la del 1, la del 2 y la del 5).
Empezamos resolviendo… ¡7 x 4!
No me sé la tabla del 7, no me sé la tabla del 4 y no queremos sumar 7 veces el 4 ni 4 veces el 7.
Elegimos uno de los dos factores y lo descomponemos utilizando uno, dos o cinco.
Supongamos que descompongo el 4 en 2 y 2. En ese caso hemos hecho esta transformación:
La tabla del 2 era una de las que me sabía así que puedo resolver 7 x 2 y 7 x 2 que es 14 y 14 (que sé hacerlo porque sumé muchos números de dos cifras de izquierda a derecha) que es 28.
Otro niño puede elegir descomponer el 7 en 5 y 2 y resolver de este modo:
Abordar de manera exhaustiva el sentido numérico trabajando con números conectados es un estupendo recurso para aprender las tablas de multiplicar.
En el proyecto “Piensa Infinito” (metodología Singapur), de la editorial SM, se le da especial importancia a los números conectados, propiciando que los alumnos lleguen por diferentes caminos a los mismos resultados. Pero la representación que se hace en el mismo de los números conectados no es exactamente como ves arriba, sino que metemos la descomposición en círculos y no mezclamos letras con símbolo. Adaptado a Singapur sería algo así:
No hay un único camino ¿Por qué nos empeñamos en enseñar a los niños nuestro camino?
¡Esta manera de multiplicar lleva mucho tiempo. Es un proceso ineficaz!… Aclararemos un par de cosas antes de realizar tamaña afirmación:
He hecho un poco de trampa porque he puesto un ejemplo de la tabla del 7 y, claro, 7 es 5 y 2 que son las que se saben… (Es difícil identificar la ironía en un escrito. Este comentario de la tabla del 7 es irónico, ya que la tabla del 7 es la más complicada para los niños).
Vamos a por otro ejemplo:
Otros pueden llegar descomponiendo el 9 en 5 y 2 y 2 y dirían: 15 y 6 y 6 que también es 27.
Consejo 5. Ya tienes confianza… ¡Estúdiate otra!
Ya sabes las tablas del 1, del 2 y del 5. Con esto puedes construir lo que quieras pero, a veces, es un rollo multiplicar por 8, porque habría que descomponer en 5 y 2 y 1 o en 2 y 2 y 2 y 2 …
Ya hemos cogido confianza y podemos enfrentar al reto de aprender la tabla del 3. Insisto en que no es necesario, pero es cómodo trabajar con el 3 para algunas descomposiciones. Y, dado que sé que es la última que tendré que estudiar, es un reto muy asumible.
Si sé la tabla del 3, puedo llegar por varios caminos a ese producto que, por algún misterioso motivo, muchos niños olvidan siempre… ¡8 x 7!
Es difícil de creer que multiplicar por descomposición es más rápido que hacerlo de memorieta, pero, creedme, si la suma de números de dos cifras está bien trabajada es mucho más rápido y da igual qué multipliquemos por 7 o por 57.
Consejo 6. Da igual lo que necesites resolver… ¡Mira!
¿Un poquito más difícil? Ahí va…
¡Os he engañado un poco de nuevo! Para resolver la de arriba hay que saberse la tabla del 10… ¡Y esa no era de las que había que estudiar!
¿En serio conocéis a algún niño que no sepa la tabla del 10?
Y hablando de tabla del 10… Ahí va el séptimo consejo.
Consejo 7. El misterioso hueco en las multiplicaciones por varias cifras
Cuando un niño se enfrenta por primera vez a una multiplicación por dos cifras ocurre que no sabe colocar bien los sumandos, y suele olvidarse de saltarse “el huequito” pero… ¿y si no dejamos el huequito?
Los niños están tan acostumbrados a eso de “unidades con unidades” y “decenas con decenas” que no saben por qué en el caso anterior eso no pasa…
¿Recordáis que en el consejo anterior multiplicamos 213 x 12 en línea descomponiendo el 12 en 10 y 2? Pues ese exactamente es el motivo del huequito:
Multiplicar por 12 es multiplicar por 10 y por 2 y cualquier número natural multiplicado por 10 acaba en cero… ¿Qué motivo hay para no poner el cero?
Por cierto, si ponemos el cero, da igual multiplicar primero por 10 y luego por 2 o primero por 2 y luego por 10, ya que se cumple la propiedad conmutativa.
Todo lo descrito anteriormente está ampliamente contrastado con cientos de alumnos que he tenido en los últimos 15 años, y muchos profesores con los que he compartido este tipo de estrategias en los últimos cinco años.
Ayudemos a nuestros niños a pensar, a razonar y, solo si eso no es posible (cosa que dudo), tiremos de memorieta… Nada de memorieta. En caso de ser necesario, vayamos a una memoria comprensiva.
La entrada 8 consejos para aprender las tablas se publicó primero en Aprender a pensar.
by Masson |